Problema 192

10. Supongamos que el punto P se encuentra sobre la circunferencia K descrita alrededor del triángulo ABC y que P1 P2 y P3 son los puntos simétricos con el punto P respecto a los lados del triángulo ABC. Demostrar que los puntos P1 P2 y P3 están sobre una recta que pasa por el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC.

Lyúbich, Y.I., Shor, L.A. (1976, original ruso, 1978 edición en español. ). Método cinemático en problemas geométricos. Lecciones populares de matemáticas. Editorial Mir. Moscú. (traducción de Lozhkin, G.A.). (pág 51)

Solución euclídea de Francisco Javier García Capitán

Podemos dividir la solución del problema en dos partes: en la primera, demostramos que P1, P2 y P3 estan alineados, y en la segunda demostramos que el ortocentro H pertenece a la misma recta que ellos.

Para la primera, parte usamos el hecho conocido de que si P está en la circunferencia circunscrita de ABC, y Q1, Q2, Q3 son las proyecciones ortogonales de P sobre los lados del triángulo ABC, entonces Q1, Q2, Q3 estan alineados (la recta que los contiene se llama recta de Simson).

Por ser Q1 punto medio de P y P1, es P1=2Q1-P, y lo mismo para los otros puntos, por el vector P1P2 es igual al doble de Q1Q2, y P1P3 el doble de Q1Q3, por lo que P1, P2 y P3 también estarán alineados.

Para la segunda parte, algo más complicada, consideramos la figura de la izquierda, en la que:

  • La altura por A corta en L de nuevo a la circunferencia circunscrita, formando el triángulo isósceles BHL.
  • La recta PL corta a BC en N y a Q1Q2 en J.

Entonces el triángulo PJQ1 es isósceles, ya que:

  • ÐPQ1J=ÐPQ1Q3=ÐPBA, teniendo en cuenta el cuadrilátero inscrito PBQ1Q3.
  • ÐPBA=ÐPLA, teniendo en cuenta el cuadrilátero inscrito PBLA.
  • ÐPLA=ÐLPQ1, ya que PQ1 y AL son paralelas.
  • Por tanto, ÐPQ1J=ÐJPQ1 y PJQ1 es isósceles.

Por ser isósceles el triángulo PJQ1 y rectángulo en Q1 el triángulo PQ1N, el triángulo JQ1N también es isósceles. Por ello, PJ=JQ1=JN, es decir N es el simétrico de P respecto de J. Como J está en la recta Q1Q2, N estará en la recta P1P2.

Como el triángulo BHL es isósceles y N está en BC, el triángulo NHL también es isósceles, por lo que ÐHNC=ÐCNL=ÐJNQ1=ÐJQ1C, por lo que NH es paralela a Q1Q2 y, al estar N en P1P2, también debe estarlo H.