Problema 192.-

10. Supongamos que el punto P se encuentra sobre la circunferencia K descrita alrededor del triángulo ABC y que P1 P2 y P3 son los puntos simétricos con el punto P respecto a los lados del triángulo ABC. Demostrar que los puntos P1 P2 y P3 están sobre una recta que pasa por el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC.

Lyúbich, Y.I., Shor, L.A. (1976, original ruso, 1978 edición en español. ). Método cinemático en problemas geométricos. Lecciones populares de matemáticas. Editorial Mir. Moscú. (Traducción de Lozhkin, G.A.). (pág 51)

Solución del profesor William Rodríguez Chamache,  Colegio Integral Class – Trujillo -  Perú, (4 de setiembre de 2004).

CONCIDERACIONES INICIALES

1) El lugar geométrico de todos los puntos P simétricos  respecto de una cuerda AB que pertenece a una circunferencia es otra circunferencia congruente a la circunferencia que contiene a la cuerda.

2) El ortocentro “O” del triángulo ABC pertenece a la circunferencia descrita por el punto P1 puesto que el punto P1 es el simétrico de punto P

3) como las circunferencias son congruentes entonces los arcos P1C y PC son iguales entonces el triángulo P1BP es isósceles

1CASO: Sea ABC triángulo rectángulo:

 

Observamos que el simétrico del punto P respecto a la hipotenusa es un punto que pertenece a la circunferencia P1 luego unimos los punto C y P1 por la recta L se demostrara que los puntos simétricos de P respecto de los otros lados esta sobre esta recta L

Observemos que CB y CA son bisectrices luego al trazar perpendiculares desde el punto P a dichas bisectrices se determinaran triángulos isósceles donde las bases son cortados en el punto medio por las bisectrices respectivas y como las bisectrices también son mediatrices de las bases entonces los puntos P2 y P3 son simétricos respecto de las bisectrices que a su ves son lados del triángulo ABC finalmente los puntos P1, P2 Y P3 están contenidos en la recta que pasa por el ortocentro del triángulo ABC

Nota (en un triángulo rectángulo el ortocentro esta en el vértice del ángulo recto)

 CASO 2: Sea ABC un triángulo cualquiera pero tomamos un punto de la circunferencia determina al prolongar una de sus alturas del triángulo.

Nota **  (tomemos en cuenta este problema)

PROBLEMA:

Hallar el Ángulo “x”

En este problemas tendremos que demostrar que el triángulo ABC es isósceles y además que la bisectriz del ángulo B y las diagonales del cuadrilátero AMNC, MC y AN son concurrentes

Solución:

Observamos que el cuadrilátero AMNC es inscriptible, peor el triángulo MBN es isósceles entonces MB=BN=m, luego aplicando teorema de la secante (relaciones métricas) obtenemos: a.m=b.m........... (1)

Finalmente a=b. por lo tanto el triángulo ABC es isósceles y el ángulo x = 90º

También observaremos que las diagonales AN y CM se cortan en un punto que pertenece a la bisectriz del ángulo B

 Sea P el punto sobre la circunferencia que resulta de a ver prolongado una de las alturas

El simétrico de este punto respecto del segmento AC observaremos que es el punto de intersección de las alturas (el ortocentro P1) luego al trazar la perpendicular al segmento BC corta a este en el punto P2 que resulta ser el simétrico de este punto respecto del lado BC pues observamos que BC es bisectriz del ángulo PBN (consideraciones iniciales 2) pro lo tanto también es mediatriz luego P2 es simétrico de P  respecto de BC

Ahora trazamos la recta que pasa por los puntos P1 y  P2  y corta a la prolongación del segmento BM en el punto P3 demostraremos que este punto es el simétrico del punto P respecto al segmento AB

Observemos el triángulo P-P3-B es el mismo caso que el tratado en NOTA ** por lo tanto P3 es simétrico de P respecto al lado AB finalmente los punto P1, P2 y P3 están contenidos en una misma recta que pasa por el ortocentro.

 

CASO 3 :

 

Cuando el punto P es un punto cualquiera de la circunferencia.

Para este caso tendremos en cuenta la recta de simson, donde se sabe que los puntos M, N y P son colineales esto nos lleva a la conclusión que los puntos P1, P2 y P3 son colineales pues estos puntos cumplen el teorema de thales

También MN es base media por lo tanto MN//P1P2  de la misma manera NQ es también base media del triángulo P2PP3 luego P2P3//NQ finalmente los punto P1, P2 y P3 son colineales.

Ahora analicemos el ortocentro, recta de simson y el punto P que pertenece a la circunferencia.

Prolongamos la altura que pasa por el ortocentro hasta cortar el lado AC y el arco AC en M y N respectivamente. Luego unimos el punto P y N Ahora sabemos que AC es mediatriz de ON y que los segmentos BN y PF son paralelos entonces los ángulos MOD=MND=DPF=α, además observamos que el arco BP=2α 

Ahora analicemos el cuadrilátero  inscriptible PTCF, para eso trazamos la diagonal PC que  con la cuerda BC forman el ángulo inscrito cuya medida es α pero sabemos que las diagonales de un cuadrilátero inscriptible y los lados opuestos forman ángulos iguales entonces los ángulos BCP=TFP=α

Bien si observamos detenidamente los ángulos ODM y TFC estos ángulo son iguales por complementos de los ángulo iguales MOD y DPF que miden α cada uno esto nos indica que la recta de simson y el segmento OD son paralelos pero en el triángulo rectángulo DPF FR es su mediana relativa a la hipotenusa por lo tanto DR=RP=RF con lo que se demuestra que el punto R es punto medio del segmento PD finalmente en el triángulo OPD como R es punto medio de PD y la recta de simson pasa por el punto R y es paralelo al  segmento OD cortara al lado PO en P4 que será punto medio de dicho lado 

Finalmente llegamos a la conclusión que la recta de simson corta al segmento que une el ortocentro con un punto de la circunferencia en su punto medio P4

Ahora sabemos los segmentos P1P, P2P y P3P son cortados por la recta de simson en su punto medio entonces como el ortocentro y el punto P también son cortados en el punto medio por la recta de simson  necesariamente los punto P1, P2, P3 y O tendrán que ser colineales (pues la relación entre los segmento de terminados por la recta de simson es constante).

Profesor: William Rodríguez Chamache

Trujillo –Perú