Problema 301 de triánguloscabri

En el triángulo ABC (ÐA=90º), construir el círculo (O1, r1) tangente externamente a los excírculos  (Ib) e (Ic) de tal forma que sea también tangente al lado BC, con el punto de tangencia entre B y C. Probar que:

Donde: ra= radio del excirculo (Ia) y r = inradio de ABC.

Propuesto por Juan Carlos Salazar

Solución de Francisco Javier García Capitán

Usamos la inversión para construir, sin tener en cuenta que el triángulo sea rectángulo, la circunferencia citada por el enunciado.

Sean K, L los puntos de tangencia con BC de (Ic) e (Ib). Consideramos la inversión con centro K y radio KL. Como el triángulo KLIb es rectángulo, la circunferencia (Ib) será ortogonal a la circunferencia de inversión y por tanto, fija. La circunferencia (Ic), que pasa por el centro de inversión K se transformará en una recta: concretamente, si KM es un diámetro de (Ic), la circunferencia (Ic) se transformará en la paralela a BC por el punto M' inverso de M. La circunferencia buscada será la inversa de una circunferencia (T) tangente a BC, su paralela por M' y a la circunferencia (Ib), que es fija.

El centro de esta última circunferencia estará en la paralela media a las dos paralelas (en la figura la que pasa por el punto N) y este centro distará de Ib una distancia rb + NK. Prolonguemos el segmento IbL hasta W de manera que LW = NK (para ello basta unir LN y trazar una paralela por K). Con centro Ib y radio IbW trazamos un arco que corta a la parela por N en T. La perpendicular a BC por T determina los puntos U' y V', inversos de los puntos de contacto de la circunferencia buscada con BC e Ic.

Hallemos el radio de la circunferencia (T).

El radio de inversión es KL = KB + BC + CL = (s - a) + a + (s - a) = 2s - a = b + c. Entonces,

Ahora recordemos esta propiedad de la inversión:

Si una circunferencia de centro Q y radio r se transforma en una circunferencia de radio s mediante una inversión de centro O y radio k, entonces se cumple que

En nuestro caso el radio r1 buscado será

Tenemos que KU' = KL + LU' y

y de aquí,

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo, sin necesidad de ser rectángulo. Veamos que en el caso de que el triángulo sea rectángulo en A esta fórmula corresponde a la fórmula propuesta en el enunciado.

En cualquier triángulo el área D se expresa mediante las fórmulas:

De aquí podemos deducir que se cumple que

Además, si el triángulo es rectángulo en A tenemos

Queremos demostrar que, cuando el triángulo es rectángulo en A,

En lo que se refiere a los numeradores tenemos que En los denominadores, por un lado tenemos que

mientras que por otro,

Por tanto, en el caso del triángulo rectángulo en A las dos fórmulas son equivalentes.